La formation par la recherche

Intitulé de la thèse - Contributions à la théorie du contrôle des systèmes non-linéaires en dimension infinie.

Dans cette thèse, nous étudions quelques problèmes de stabilisation et de régulation de sortie pour des systèmes non-linéaires en dimension infinie. Tout d’abord, nous analysons la stabilité d’une équation des ondes en dimension un d’espace, soumise à un retour stabilisant non-linéaire de type Neumann à une extrémité et à une condition au bord dynamique non-linéaire à l’autre extrémité du domaine. Ce modèle s’inspire de la propagation de vibrations de torsion le long de trains de forage, la condition au bord dynamique représentant un anti-amortissement non-linéaire à l’interface avec la roche, qui peut déstabiliser le dispositif. La stabilité exponentielle de l’ensemble des solutions stationnaires est examinée avec une approche type Lyapunov. Dans un second temps, nous considérons une équation des ondes multi-dimensionnelle soumise à un contrôle non-linéaire et non-local de type Dirichlet sur une partie de la frontière.

Le caractère bien posé du problème en boucle fermée ainsi que la stabilité asymptotique sont établis à l’aide de techniques issues de la théorie des semi-groupes de contractions combinées au principe d’invariance de LaSalle et à un résultat de continuation unique pour les ondes. Lorsque la non-linéarité dans le contrôle a une croissance linéaire autour de zéro, nous démontrons que l’énergie des solutions fortes décroît de manière polynomiale. Enfin, dans une dernière partie, nous nous intéressons au problème de régulation à sortie constante pour une classe de systèmes abstraits régis par des semi-groupes de contractions sur des espaces de Hilbert.
Notre approche repose sur la technique du « forwarding », originellement développée pour la stabilisation de systèmes non-linéaires de dimension finie en cascade. Nous proposons des conditions suffisantes pour l’existence d’une loi de commande dynamique menant le système à un équilibre où la sortie coïncide avec la référence. Ces conditions sont étudiées en détail dans le cas des systèmes semi-linéaires, et des exemples d’illustration sont donnés.

Mots clés : stabilisation, régulation de sortie, équations aux dérivées partielles, équation des ondes, saturation, semi-groupes de contractions

École doctorale : ED EEATS - Électronique, Électrotechnique, Automatique, Traitement du Signal
Laboratoire d’accueil : Grenoble Images Parole Signal Automatique (GIPSA-lab - CNRS/Grenoble INP-UGA/UGA)
Direction de thèse : Christophe PRIEUR et Francesco FERRANTE

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